Matemàtiques — 2024, convocatòria extraordinària

Setembre 2024 · Sèrie 3 · Antic

Document oficial (PDF)

Exercici 1

Text de l'enunciat

1. Considereu la funció polinòmica f(x) = 3x¹³ + 5x³+ 2.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Apartat a)

Text de l'enunciat

p f( )

a) Justifiqueu que la seva gràfica talla l’eix de les abscisses en un punt de l’interval

[–2, 0]. Doneu un interval de longitud 0,5 on es trobi aquest punt de tall.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest apartat

Apartat b)

Text de l'enunciat

b) Estudieu les zones de creixement i de decreixement, i els màxims i els mínims de y = f(x). Quants punts de tall té exactament la gràfica d’aquesta funció amb l’eix de les abscisses? Justifiqueu la resposta.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest apartat

Exercici 2

Text de l'enunciat

2. Considereu el sistema d’equacions següent, on m és un paràmetre real:

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Apartat a)

Text de l'enunciat

a) Discutiu el sistema segons el valor del paràmetre m.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest apartat

Apartat b)

Text de l'enunciat

b) Trobeu la solució del sistema per a m = 0.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest apartat

Apartat c)

Text de l'enunciat

c) Per a m = 2, doneu una solució (x, y, z) del sistema que, a més a més, compleixi x = 5y.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest apartat

Exercici 3

Text de l'enunciat

3. La classe de l’Èlia ha dissenyat el logotip següent per a pintar-lo a la paret de l’institut:

La corba que passa pel punt A és y = f(x), amb f(x) = x³ – 4x² + 4x, i la que passa pels punts B, C = (3, 3) i D és y = g(x), amb .

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Apartat a)

Text de l'enunciat

a) Calculeu les coordenades dels punts A, B i D.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest apartat

Apartat b)

Text de l'enunciat

b) Calculeu l’àrea de la zona puntejada.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest apartat

Apartat c)

Text de l'enunciat

c) Els alumnes volen pintar la part puntejada de color blau i la part ratllada de color vermell. Sabent que l’àrea total del logotip és m², de quin color necessitaran més pintura?

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest apartat

Exercici 4

Text de l'enunciat

4. S’estima que el 20 % dels habitants d’una regió pateix algun tipus d’arrítmia. Per a diagnosticar-la, hi ha la possibilitat de coŀlocar al pacient un monitor Holter, que detecta l’arrítmia en un 95 % dels casos de persones que la pateixen, però que també dona falsos positius, per motius elèctrics, en persones que no pateixen arrítmies en un 0,5 % dels casos.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Apartat a)

Text de l'enunciat

a) Si escollim 4 persones a l’atzar, quina és la probabilitat que almenys una d’elles pateixi arrítmies?

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest apartat

Apartat b)

Text de l'enunciat

b) Quina és la probabilitat que una persona escollida a l’atzar obtingui un diagnòstic positiu d’arrítmia?

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest apartat

Apartat c)

Text de l'enunciat

c) Si una persona obté un diagnòstic negatiu a la prova del Holter, quina és la probabilitat que realment pateixi arrítmies?

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest apartat

Exercici 5

Text de l'enunciat

5. Per a cada punt (x, y) de la corba y = e⁻²^(x), amb x > 0 i y > 0, considereu el rectangle amb vèrtexs als punts (0, 0), (x, 0), (0, y) i (x, y).

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Apartat a)

Text de l'enunciat

a) Comproveu que, d’entre tots aquests rectangles, el que té és el d’àrea màxima. Quin és el valor d’aquesta àrea?

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest apartat

Apartat b)

Text de l'enunciat

b) Calculeu l’equació de la recta tangent a la funció y = e⁻²^(x) en el punt d’abscissa x = 0, i el seu punt de tall amb l’eix de les abscisses.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest apartat

Exercici 6

Text de l'enunciat

6. Considereu el punt P = (1, 3, 0) i el pla π d’equació x + 2y – 2z = –7.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Apartat a)

Text de l'enunciat

p ( , , ) p q y

a) Sigui r la recta que és perpendicular a π i passa per P. Calculeu el punt d’intersecció de π amb r.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest apartat

Apartat b)

Text de l'enunciat

b) Calculeu la distància d del punt P al pla π.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest apartat

Apartat c)

Text de l'enunciat

c) Calculeu l’equació d’un altre pla π′ que sigui paraŀlel a π i que també estigui a distància d de P.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest apartat