Matemàtiques — 2024, convocatòria incidències

Juny 2024 · Sèrie 5 · Antic

Exercici 1

Text de l'enunciat

1. Considereu la funció f(x) = –2 + 10 (x – 1) ln x, definida per a x > 0.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Apartat a)

Text de l'enunciat

f( ) ( ) , p

a) Comproveu que f(x) té una arrel a l’interval [1, 1,5] i busqueu un interval d’una dècima de longitud que també contingui aquesta mateixa arrel.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest apartat

Apartat b)

Text de l'enunciat

b) Sense calcular els punts crítics, justifiqueu que f(x) és decreixent a l’interval (0, 1) i creixent a (1, +∞). Quins màxims i mínims té aquesta funció?

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest apartat

Apartat c)

Text de l'enunciat

c) Calculeu i , i feu un esbós de la gràfica d’aquesta funció.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest apartat

Exercici 2

Text de l'enunciat

2. Considereu les matrius , i .

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Apartat a)

Text de l'enunciat

a) Decidiu si la matriu P és invertible i, en cas de ser-ho, calculeu la seva inversa.

Expliqueu detalladament el procediment seguit.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest apartat

Apartat b)

Text de l'enunciat

b) Calculeu una matriu X de 3 files i 3 columnes que compleixi P X + Q = 2R.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest apartat

Exercici 3

Text de l'enunciat

3. Considereu les paràboles y = fₐ(x), amb fₐ(x) = ax² + 2x + 5 – a, on a és un paràmetre real.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Apartat a)

Text de l'enunciat

p y fₐ( ), fₐ( ) , p

a) Determineu el valor del paràmetre a per al qual la recta tangent a y = fₐ(x) en el punt d’abscissa x = 1 passa pel punt (2, 13).

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest apartat

Apartat b)

Text de l'enunciat

b) Calculeu els punts de tall de les paràboles y = f₁(x) i y = f₃(x).

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest apartat

Apartat c)

Text de l'enunciat

c) Calculeu l’àrea de la regió situada entre les dues paràboles y = f₁(x) i y = f₃(x).

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest apartat

Exercici 4

Text de l'enunciat

4. La Rut fa servir el mètode següent per a fer els problemes de matemàtiques: tira un dau equilibrat i, si el resultat és com a màxim 4, pensa i resol el problema ella mateixa; si el resultat és 5 o 6, busca la solució del problema per Internet i la copia. Quan és ella qui ha pensat la solució, la resposta és correcta en el 75 % dels casos; quan copia la solució d’Internet, la resposta és correcta només en el 40 % dels casos.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Apartat a)

Text de l'enunciat

, p

a) Quina és la probabilitat que la solució d’un problema respost seguint aquest mètode sigui correcta?

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest apartat

Apartat b)

Text de l'enunciat

b) Quina és la probabilitat que un problema l’hagi resolt la Rut si sabem que la solució és correcta?

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest apartat

Apartat c)

Text de l'enunciat

c) Demà la Rut ha d’entregar 5 problemes de matemàtiques. Quina és la probabilitat que n’hi hagi almenys 4 de correctes?

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest apartat

Exercici 5

Text de l'enunciat

5. En Carles vol construir un decorat per a l’obra de teatre de final de curs en forma d’un rectangle i dos semicercles, tal com es mostra a la figura següent:

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Apartat a)

Text de l'enunciat

a) Determineu el perímetre i l’àrea del decorat que s’ha de construir en funció de x i de y.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest apartat

Apartat b)

Text de l'enunciat

b) Per a revestir el perímetre del decorat, en Carles té material per a cobrir fins a 10 m.

Si el vol gastar tot, quines seran les mides del decorat d’àrea màxima que podrà construir? Quin és el valor d’aquesta àrea?

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest apartat

Exercici 6

Text de l'enunciat

6. Considereu les rectesR i .

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Apartat a)

Text de l'enunciat

a) Quina és la seva posició relativa? Calculeu l’equació implícita d’un pla π que sigui paraŀlel a les dues rectes i que passi per l’origen de coordenades.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest apartat

Apartat b)

Text de l'enunciat

b) Calculeu l’equació de la recta t que talla les dues rectes r i s perpendicularment.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest apartat