Matemàtiques — 2024, convocatòria ordinària

a) Estudieu-ne els màxims i els mínims, i les zones de creixement i de decreixement.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

b) Aquesta funció té asímptotes? Feu un esbós de la seva gràfica.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

c) Calculeu l’equació de la recta tangent a la gràfica de y = f(x) en el punt d’abscissa x = 1.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

p

a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre k, i resoleu-lo per a k = 0.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

b) Resoleu el sistema per a k = –1.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

c) Per a k = –1, modifiqueu la tercera equació de manera que el sistema esdevingui incompatible. Justifiqueu la resposta.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

g y f( ), f( )

a) A partir de l’expressió de f(x), calculeu les coordenades dels punts P, Q i R indicats a la figura. Calculeu també l’equació de la recta PR.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

b) Calculeu la superfície del terreny.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

a) A continuació, treu de la bossa dues boles a l’atzar, una darrere l’altra i sense reemplaçament (és a dir, no retorna a la bossa la primera bola abans de treure la segona). — Calculeu la probabilitat que la primera bola sigui una A o una E.

— Calculeu la probabilitat que les dues boles siguin diferents.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

b) L’Andreu torna a posar totes les boles a la bossa i en treu cinc a l’atzar, una darrere l’altra, però ara amb reemplaçament (és a dir, ara sí que retorna a la bossa cada bola extreta abans d’agafar la següent). — Calculeu la probabilitat que no hagi tret cap A.

— Calculeu la probabilitat que hagi tret almenys dues A.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

a) Comproveu que el cost de construcció del cobert ve donat per la funció

+ 150x² + 35, on x és la fondària del cobert en metres.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

b) Calculeu quines han de ser les dimensions del cobert per tal que el cost de construcció sigui mínim i justifiqueu la resposta. Quin és aquest cost?

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

p ( , , ) ( , , )

a) Calculeu l’equació del pla π que és perpendicular a la recta AB i que passa pel punt mitjà entre A i B. Justifiqueu que aquest pla està format, precisament, pels punts P = (x, y, z) que estan a igual distància de A que de B, és a dir, d(P, A) = d(P, B).

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

b) Calculeu les distàncies de A i de B al pla π i comproveu que són iguals. És casualitat?

Raoneu la resposta.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

c) Sigui C = (–7, 6, 3). El triangle ABC és isòsceles? Calculeu la seva àrea.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.