Matemàtiques — 2023, convocatòria ordinària

Juny 2023 · Sèrie 1 · Antic

Document oficial (PDF)

Exercici 1

Enunciat · Exercici 1, part 1

Text de l'enunciat

1. Calculeu els coeficients a, b, c i d de la funció f(x) = ax³ + bx² + cx + d si sabem que l’equació de la recta tangent a la gràfica de la funció f en el punt d’inflexió (1, 0) és y = –3x + 3 i que la funció té un extrem relatiu en el punt de la gràfica d’abscissa x = 0.

Espai per al corrector/a

Qüestió 1

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest exercici

Exercici 2

Text de l'enunciat

2. Considereu les dues matrius següents:

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Apartat a)

Text de l'enunciat

a) Calculeu les matrius A · B i B · A.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest apartat

Apartat b)

Enunciat · Apartat b), part 1

Text de l'enunciat

b) Siguin C i D dues matrius quadrades del mateix ordre que satisfan C · D = C i D · C = D.

Comproveu que les dues matrius, C i D, són idempotents.

Nota: Una matriu quadrada s’anomena idempotent si coincideix amb el seu quadrat.

Espai per al corrector/a a

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest apartat

Exercici 3

Text de l'enunciat

3. Sigui la funció derivada d’una funció derivable f(x) que passa pel punt A = (0, 3).

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Apartat a)

Text de l'enunciat

pel punt A (0, 3).

a) Calculeu la funció f(x).

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest apartat

Apartat b)

Text de l'enunciat

b) Calculeu l’equació de la recta tangent a la funció f′(x) en el punt d’abscissa x = 3.

Espai per al corrector/a a

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest apartat

Exercici 4

Text de l'enunciat

4. Sigui el sistema d’equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real λ:

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Apartat a)

Text de l'enunciat

a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre λ.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest apartat

Apartat b)

Text de l'enunciat

b) Per al cas λ = –1, resoleu el sistema, interpreteu-lo geomètricament i identifiqueu-ne la solució.

Espai per al corrector/a a

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest apartat

Exercici 5

Enunciat comú · Exercici 5, part 1

Text de l'enunciat

5. La Núria té un jardí rectangular i vol fer-hi un tancat (rectangular o quadrat) de 8 m² per al seu gos. Ha pensat de posar el tancat tocant al mur del jardí, tal com es mostra a la figura de la dreta, per estalviar-se així un dels quatre costats. El preu de la tanca que vol fer servir és de 2,5 €/m.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Apartat a)

Text de l'enunciat

2,5 €/m.

a) Quines dimensions ha de tenir el tancat perquè el cost sigui mínim? Quin és aquest cost mínim?

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest apartat

Apartat b)

Enunciat · Apartat b), part 1

Text de l'enunciat

b) Si manteniu la forma rectangular o quadrada del tancat i feu que un dels vèrtexs del jardí coincideixi amb un vèrtex del tancat, quants euros us podeu estalviar? Raoneu com posaríeu el tancat i justifiqueu amb càlculs matemàtics les dimensions de la vostra proposta.

Espai per al corrector/a a

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest apartat

Exercici 6

Text de l'enunciat

6. Siguin els plans π₁ i π₂, determinats respectivament per les equacions π₁: x + y = 3 i π₂: x – z = –2.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Apartat a)

Text de l'enunciat

π₂: x z 2.

a) Trobeu l’equació general (Ax + By + Cz + D = 0) del pla π₃, que és perpendicular a π₁ i π₂, i que passa pel punt P = (4, 1, 2).

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest apartat

Apartat b)

Text de l'enunciat

b) Sigui r la recta d’intersecció de π₁ i π₂. Calculeu l’equació vectorial de la recta r.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest apartat

Apartat c)

Text de l'enunciat

c) Calculeu el punt Q de la recta r que és més a prop del punt P.

Espai per al corrector/a a b

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest apartat

Exercici 7

Text de l'enunciat

1. Considereu les funcions f(x) = –x²^()+ x + 6 i g(x) = –9x + 3x².

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Apartat a)

Text de l'enunciat

1. Considereu les funcions f(x) x + x + 6 i g(x) 9x + 3x .

a) Calculeu l’àrea de la regió delimitada per les dues funcions.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest apartat

Apartat b)

Text de l'enunciat

b) Trobeu l’equació de la recta tangent a la funció f(x) en el punt (–2, 0). Representeu aquesta recta tangent i les funcions f(x) i g(x) en uns mateixos eixos de coordenades.

Espai per al corrector

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest apartat

Exercici 8

Text de l'enunciat

2. Considereu el sistema d’equacions lineals

en què k és un paràmetre real.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Apartat a)

Text de l'enunciat

en què k és un paràmetre real.

a) Discutiu el sistema en funció del valor de k.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest apartat

Apartat b)

Text de l'enunciat

b) Resoleu el sistema per a k = 0 i per a k = 1.

Espai per al corrector

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest apartat

Exercici 9

Text de l'enunciat

3. Considereu les rectes a l’espai r : x = –y = z + m i , en què m és un paràmetre real.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Apartat a)

Text de l'enunciat

a) Estudieu la posició relativa per als diferents valors del paràmetre m.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest apartat

Apartat b)

Text de l'enunciat

b) Calculeu m perquè la distància entre les rectes r i s sigui de unitats.

Espai per al corrector

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest apartat

Exercici 10

Enunciat · Exercici 10, part 1

Enunciat · Exercici 10, part 3

Text de l'enunciat

4. En una carretera principal hi trobem el poble A. A 12 km del poble A, hi ha un encreuament O amb una carretera secundària que talla perpendicularment la carretera principal. A 9 km de l’encreuament, a la carretera secundària, hi trobem el poble B. Es vol construir una torre de comunicacions T en un punt de la carretera principal situat entre el poble A i l’encreuament O. Aquesta torre ha d’estar connectada amb cadascun dels dos pobles en línia recta per cable. Sabem que instaŀlar el cable entre la torre T i el poble B té un preu de 250 €/km i, en canvi, instaŀlar el cable entre la torre T i el poble A té un preu de 125 €/km. Determineu a quina distància de l’encreuament O a la carretera principal cal situar la torre T perquè el preu del cablejat sigui mínim i quin serà el valor d’aquest preu mínim.

Espai per al corrector

, en què a, b ∈ ℝ.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest exercici

Exercici 11

Text de l'enunciat

5. Considereu la família S de matrius de la forma

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Apartat a)

Text de l'enunciat

a) Calculeu .

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest apartat

Apartat b)

Enunciat · Apartat b), part 1

Text de l'enunciat

b) Trobeu totes les matrius de la família S, és a dir, de la forma , que verifiquin la igualtat A² = I, en què I és la matriu identitat d’ordre 2.

Espai per al corrector

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest apartat

Exercici 12

Text de l'enunciat

6. Sigui la funció .

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Apartat a)

Enunciat · Apartat a), part 1

Text de l'enunciat

a) Calculeu els valors dels paràmetres a i b si sabem que la gràfica de la funció f té un extrem relatiu en x = –1 i passa pel punt .

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest apartat

Apartat b)

Text de l'enunciat

b) Per al cas a = b, calculeu i classifiqueu els extrems relatius de la funció.

Espai per al corrector

[Pàgina per a fer esquemes, esborranys, etc., o per a acabar de respondre a alguna qüestió.]

[Pàgina per a fer esquemes, esborranys, etc., o per a acabar de respondre a alguna qüestió.]

Espai per etiquete s

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Mostra la solució

Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).

Enllaç permanent d'aquest apartat