Matemàtiques — 2025, convocatòria extraordinària

Exercici 1

Una família vol comprar un terreny per a fer-s’hi una casa envoltada de penya-segats amb vistes al mar. En aquella zona de la costa, els penya-segats segueixen les rectes y = 0 i y = 3x. A més, la família vol que el terreny sigui triangular i que el tercer costat del triangle passi pel punt P = (1, 1), tal com es pot veure en la figura.

a) Plantegeu l’equació de la recta r que defineix el tercer costat del triangle en funció del seu pendent m, i comproveu que l’àrea del terreny ve donada per .

b) Calculeu el valor de m que fa que l’àrea d’aquest terreny (i, per tant, el seu preu) sigui mínima. Quin és el valor d’aquesta àrea?

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Exercici 2

Considereu el sistema d’equacions lineals següent:

a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre m.

b) Resoleu el sistema per a m = 1.

c) Resoleu el sistema quan aquest tingui infinites solucions.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Exercici 3

La lesió per sesamoïditis (inflamació de l’os sesamoide del peu) és relativament habitual entre la població que practica esports d’impacte (atletisme, bàsquet, tennis…). En una població d’esportistes, s’ha fet un estudi diferenciant entre els que practiquen esports d’impacte i els que practiquen esports sense impacte brusc (com ara natació, pilates, senderisme…). S’ha pogut determinar que el 45 % practiquen esports d’impacte. Entre aquests, un 10 % pateixen lesions per sesamoïditis, mentre que entre els que no practiquen esports d’impacte només un 3 % presenten aquesta lesió. Escollim un esportista a l’atzar.

a) Quina és la probabilitat que pateixi sesamoïditis?

b) Si l’esportista escollit té una lesió per sesamoïditis, quina és la probabilitat que practiqui esports d’impacte?

Una empresa de calçat esportiu ha creat una sabatilla amb amortiment per a minimitzar les lesions per sesamoïditis. Els beneficis generats per la venda d’aquest producte, en milers d’euros, segueixen una funció de la forma f(x) = ax³ + bx² + cx, on x són els anys transcorreguts des que la sabatilla va sortir a la venda i a, b i c són constants reals.

c) Calculeu els valors de a, b i c sabent que el primer any es van obtenir el màxim de beneficis, amb un valor de 8 000 euros, i que el segon any va haver-hi un punt d’inflexió en els beneficis.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Exercici 4

Trieu UNA de les dues opcions (A o B) i responeu a les qüestions que s’hi plantegen.

OPCIÓ A

Un vidrier està reparant un dels vitralls de la Sagrada Família la forma del qual és la de la part ombrejada de la figura adjunta. S’ha adonat que Gaudí el va dissenyar de manera que un dels costats segueix la funció y = 3sin(x/4) i un altre segueix la funció y = 3cos(x/4), on x i y estan expressades en metres.

a) Raoneu a quina funció correspon cada gràfica i calculeu les coordenades dels punts B i C assenyalats a la figura (tenint en compte que A és l’origen de coordenades).

b) Calculeu el preu del vitrall sabent que costa 750 €/m².

OPCIÓ B

Considereu el pla π: 2x – y + z = 5 i el punt P = (0, 1, 3).

a) Comproveu que la distància del punt P al pla π és .

b) Trobeu l’equació general d’un pla π₁ paraŀlel a π i que passi pel punt P. Quina és la distància entre π₁ i π?

c) Trobeu l’equació general d’un segon pla π₂, diferent de π₁, que és paraŀlel a π i que estigui a una distància de π.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.