Exercici 3 · Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2026, convocatòria ordinària
Text de l'enunciat
Exercici 3
Una empresa de telecomunicacions considera que una pàgina web és eficient si el seu temps de càrrega és inferior a 3 segons. L’empresa afirma que almenys el 50 % de les pàgines web que gestiona són eficients. Per comprovar aquesta afirmació, seleccionem una mostra aleatòria de n = 2.500 pàgines web gestionades per aquesta empresa.
Fórmules per a resoldre l’exercici:
• Z ∼ normal (0, 1) → P(–1,96 ≤ Z ≤ 1,96) = 0,95 i P(–2,58 ≤ Z ≤ 2,58) = 0,99
• Intervals de confiança amb un nivell de confiança γ ∈ (0, 1) — per a la proporció (mostres grans):
Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.
Apartat 3.1
Text de l'enunciat
3.1. Suposem que, cada vegada que seleccionem una pàgina web per a la mostra, aquesta pot ser eficient (o no ser-ho) amb una probabilitat p = 0,5 i que el fet que una pàgina sigui eficient (o no) és independent del fet que la resta de pàgines ho siguin (o no). Considerem la variable aleatòria X, que compta el nombre de pàgines, d’entre les 2.500 de la mostra, que són eficients. Quina distribució té la variable X? Calculeu la probabilitat que com a molt 1.299 pàgines siguin eficients. Per a fer-ho, utilitzeu l’aproximació per la distribució normal sense fer la correcció per continuïtat.
Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.
Mostra la solució
Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).
Apartat 3.2
Text de l'enunciat
3.2. En la mostra de n = 2.500 pàgines web, hem obtingut una mitjana mostral del temps de càrrega de x⁻ = 2,95 segons i una desviació típica mostral de s = 0,38 segons. Suposeu que el temps de càrrega de les pàgines web segueix una distribució normal
Construïu un interval de confiança del 95 % per al temps mitjà de càrrega de les pàgines web que gestiona l’empresa. A partir de l’interval obtingut, què podem dir sobre l’afirmació de l’empresa que almenys el 50 % de les pàgines web que gestiona són eficients?
Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.
Mostra la solució
Solució encara no emparellada. Obre la solució oficial (PDF).