Matemàtiques — 2025, convocatòria ordinària

Exercici 1

Considereu la funció .

a) Determineu els talls de la corba y = f(x) amb els eixos de coordenades, i les equacions de les seves possibles asímptotes verticals, horitzontals i obliqües.

b) Calculeu les equacions de les rectes tangents a la corba y = f(x) en els punts x = 0 i x = 2. Aquestes dues rectes són paraŀleles? Justifiqueu la resposta.

c) Hi ha algun punt on la recta tangent a f(x) tingui pendent 1? En cas afirmatiu, trobeu-lo.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Exercici 2

Considereu el sistema d’equacions linea ls següent:

a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre p.

b) Resoleu el sistema per al cas p = –1.

c) Per al cas p = –1, hi ha alguna solució que compleixi, a més, xy = 10? En cas afirmatiu, indiqueu quantes n’hi ha i trobeu-les totes.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Exercici 3

Una empresa produeix dos tipus de peces, de ferro i d’acer. El 60 % de la producció total correspon a peces de ferro i la resta són d’acer. Sabem que el 95 % de les peces de ferro produïdes no tenen cap defecte, mentre que el 3 % de les peces d’acer són defectuoses.

a) Si agafem una peça a l’atzar, quina és la probabilitat que sigui defectuosa?

b ) L’empresa aviat diversificarà la producció i començarà a produir també peces de titani, que es vendran en paquets de 5. Si la probabilitat que una peça de titani sigui defectuosa és un valor desconegut p, i cada peça és defectuosa independentment de les altres, comproveu que l’expressió que ens dona la probabilitat que en un paquet de 5 peces n’hi hagi exactament 4 de defectuoses (en funció de p) és f(p) = 5(p⁴ – p⁵).

c) Considereu la funció f(p) de l’apartat anterior. Determineu el valor màxim que pren f(p) quan p ≥ 0.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.

Exercici 4

Trieu UNA de les dues opcions (A o B) i responeu a les qüestions que s’hi plantegen.

OPCIÓ A

La vela major d’un veler té forma semiparabòlica i està delimitada per les gràfiques de f(x) = –x²+ 25, y = 0 i x = 0, tal com s’indica a la figura següent:

La vela té dues parts separades per la recta y = 9. Per a construir-la, s’empra un teixit de niló a la part superior, que costa 50 €/u², i un teixit de polièster a la part inferior, que costa 70 €/u². Calculeu el cost total del material que es necessita per a construir aquesta vela.

OPCIÓ B

Considereu el pla π d’equació x + y = 0.

a) Calculeu l’equació del pla π′ que és perpendicular a π i conté els punts P = (1, –1, 2) i

Q = (3, –3, 6).

b) Calculeu l’equació paramètrica de la recta continguda en π′ i que conté els punts de π′ a la mateixa distància de P que de Q.

Tret automàticament del PDF oficial: les fórmules es veuen bé a la imatge.